Mark est né à Horne, dans le Surrey, de l'agriculteur et artiste amateur Bernard Kempner et de l'ancienne ouvrière agricole Mary Kempner. Il a étudié à l'école Michael Hall, où il a particulièrement brillé dans les nombreux cours d'art dramatique. Il a travaillé sur la ferme familiale jusqu'à sa rencontre avec sa future épouse Anna à l'âge de 18 ans. Ils se sont mariés en 1982 et ont deux enfants, tous deux devenus acteurs professionnels. Peu après avoir quitté l'école, Mark a passé un an dans un kibboutz en Israël, où il a fondé une troupe itinérante de comédie dramatique qui a tourné dans d'autres kibboutz pour présenter des sketches humoristiques.
