Né à Londres, Robbins était employé de banque avant de devenir acteur après avoir participé à des représentations théâtrales amateurs à Hitchin, dans le Hertfordshire, où il vivait alors avec sa famille. Il fait ses débuts à la télévision dans le rôle du soldat cockney dans Roll-on Bloomin' Death. Acteur principalement comique, on se souvient surtout de lui pour son rôle d'Arthur Rudge, le mari sarcastique d'Olive (Anna Karen), dans la populaire sitcom On the Buses (1969-1973). Robbins et Karen fournissaient l'intrigue comique secondaire aux aventures de Reg Varney au dépôt de bus. Il a également joué dans les adaptations cinématographiques de la série : On the Buses, Mutiny on the Buses et Holiday on the Buses. Parmi ses autres crédits comiques, on compte des rôles non récurrents dans Man About the House, Oh Brother!, The Good Life, One Foot in the Grave, The New Statesman, George and Mildred, Hi-de-Hi! et You Rang, M'Lord? Il est apparu en sergent de police plutôt humoristique dans l'adaptation télévisée de Brendon Chase.
En plus de ces rôles comiques, il a joué des rôles sérieux dans certaines des grandes émissions de télévision britanniques des années 1960 et 1970 : notamment Minder, The Sweeney, Z-Cars, Return of the Saint, Murder Most English, The Avengers, Dixon of Dock Green, The Bill et l'histoire de Doctor Who de 1982, The Visitation.
Les crédits cinématographiques de Robbins incluent The Whisperers, Up The Junction, The Looking Glass War, Zeppelin et les films de Blake Edwards The Pink Panther Strikes Again et Victor/Victoria. Il a également eu une carrière extensive comme acteur radio, dont un rôle dans le feuilleton Waggoner's Walk et l'émission satirique des années 1970 Life is What Yer Make It.
Robbins était un infatigable travailleur pour des œuvres de charité. Il était actif dans le Grand Ordre des Rats d'Eau (élu 'Rat de l'Année' en 1978) et la Guilde Catholique des Artistes de Scène, et a reçu un Prix Papal pour ses services en 1987. Dans l'une de ses dernières apparitions télévisées, dans A Little Bit of Heaven, Robbins se souvenait de ses visites d'enfance à Norfolk et parlait de sa foi et de son amour pour le Sanctuaire de Notre-Dame à Walsingham. Michael Robbins avait un frère, Jack, qui était directeur de l'école catholique Saint Gregory à Bedford dans les années 1970 et début 1980. Michael a fait quelques apparitions en invité à cette école au fil des ans et divertissait parfois les élèves avec divers sketches avec son frère Jack Robbins.
Au milieu des années 1970, il a également réalisé un film : How Are You?
