Mark werd geboren in Horne, Surrey, als zoon van boer en amateur-entertainer Bernard Kempner en voormalig landmeisje Mary Kempner. Hij ging naar de Michael Hall-school, waar hij uitblonk in de vele dramalessen. Hij werkte op de familieboerderij tot hij op 18-jarige leeftijd zijn vrouw Anna ontmoette. Ze trouwden in 1982 en hebben twee kinderen, die ook professionele acteurs zijn. Kort na zijn schooltijd werkte Mark een jaar op een kibboets in Israël, waar hij een rondreizend komedie-dramagroep oprichtte die optrad op andere kibboetsen.
